Modello teorico

Modello sviluppato per la realizzazione del trasmettitore

Coefficiente di riflessione e di trasmissione

Ciascun mezzo presenta una sua impedenza intrinseca, quantità complessa esprimibile come

$$ \label{ref1} \begin{equation} \eta = \sqrt{ -j\omega\mu \over \sigma -j \omega \epsilon} \end{equation}$$

In prossimità del confine fra due strati con diversa impedenza intrinseca, parte dell’energia dell’onda sarà riflessa e parte verrà rifratta. Se si suppone che l’onda abbia un’incidenza normale rispetto all’ interfaccia, l’onda riflessa giacerà sulla stessa direzione, ma con verso opposto $ (\theta_i \approx \theta_r \approx \theta_t \approx 0 )$.

Prende il nome di coefficiente di riflessione il rapporto tra intensità dell’onda incidente e intensità dell’onda riflessa, calcolabile come

$$ \begin{equation} \label{ref2} \rho = {\eta_1 - \eta_2 \over \eta_1 + \eta_2 } \end{equation}$$

Il coefficiente di trasmissione, ossia il rapporto tra intensità dell’onda incidente e intensità dell’onda rifratta, è invece calcolabile per mezzo della seguente formula

$$ \begin{equation} \label{ref3} \tau = 1- \rho = {2\eta_2 \over \eta_1 + \eta_2 } \end{equation}$$

Velocità di propagazione

Come sappiamo la velocità di propagazione di un’onda elettromagnetica nel vuoto è pari a $ 3 \times 10^8 {m \over s}$ essa si riduce quando l’onda si propaga in un mezzo, secondo la formula

$$ \label{ref4} \begin{equation} v = { c_0 \over \sqrt{ {\epsilon_r\mu_r \over 2} \left(1+ \sqrt{ 1+ \left({\sigma \over \epsilon \omega}\right)^2}\right) }} \end{equation}$$

Dove:

Attenuazione

Quando l’onda si propaga in un mezzo, oltre alla diminuzione della sua velocità, si ha anche una riduzione della potenza del segnale elettromagnetico; tra i processi più importanti troviamo:

Il coefficiente di attenuazione viene espresso come:

$$ \label{ref5} \begin{equation} \alpha = \omega {\sqrt{ {\epsilon\mu \over 2} \left({ \sqrt{ 1+ \left({\sigma \over \epsilon \omega}\right)^2} -1}\right) }} \end{equation}$$

Dove $ \mu = \mu_r\mu_0$ permeabilità magnetica, con $ \mu_0 $ permeabilità magnetica del vuoto $ 4\pi \times 10^{-7} {H/m}$

L’attenuazione può inoltre essere espressa in $ dB/m$ secondo la formula:

$$ \label{ref6} \begin{equation} |A_{dB/m}| = |20 \log(e^{-\alpha z})| = |20 \log(e^{-\alpha 1m})| = |20(-\alpha) \log(e)| = 8.69 \alpha \end{equation}$$

Essenzialmente il comportamento della velocità e dell’attenuazione dipende dal termine $({\sigma \over \epsilon \omega})^2$ che costituisce un fattore di perdita; inoltre:

Profondità di penetrazione

Molto importante risulta la profondità di penetrazione  del sistema, definita come la distanza alla quale l’energia del segnale trasmesso si attenua di $1/e$; poiché la propagazione di un’onda elettromagnetica verso una determinata direzione  può essere descritta dalla seguente relazione

$$ \label{ref7} \begin{equation} E(z,t) = E_0 e^{-\alpha z} e^{j(\omega t-\beta z)} \end{equation}$$

la profondità di penetrazione corrisponde alla distanza

$$ \label{ref8} \begin{equation} z = {1\over\alpha} \end{equation}$$

Risoluzione

Un altro elemento di grande importanza è la risoluzione, ossia la capacità di distinguere tra loro superfici poco distanti; essa è funzione della lunghezza d’onda, che a sua volta dipende dalla velocità e dalla frequenza dell’onda secondo la legge:

$$ \begin{equation} \lambda={v\over f}={2\pi v\over\omega} \end{equation}$$

Procedimento

Di seguito si riporta una tabella contenente conducibilità elettrica, costante dielettrica relativa e permeabilità magnetica relativa di alcuni materiali.

Materiale $\sigma [S/m]$ $\epsilon_r$ $\mu_r$
Aria 0 1 1
Acqua distillata 0,001 81 1
Acqua marina 4 81 1
Suolo sabbioso secco 0,00014 2,6 1
Suolo sabbioso umido 0,0069 25 1
Suolo limoso secco 0,00011 2,5 1
Suolo limoso umido 0,021 19 1
Suolo argilloso secco 0,00027 2,4 1
Suolo argilloso umido 0,05 15 1
Ferro 1000000 1 10000
Rame 58000000 1 1
Basalto umido 0,01 8 1
Granito umido 0,001 7 1
Scisto umido 0,1 7 1
Arenaria umida 0,04 6 1
Calcare umido 0,025 8 1

Per la nostra analisi, si è deciso di considerare il solo suolo sabbioso secco.

Disponendo dei dati in tabella per tale tipo di suolo, è stato possibile calcolare tutti i parametri di progetto precedentemente descritti; innanzitutto, per mezzo delle equazioni $\left(\ref{ref1}\right)$, $\left(\ref{ref2}\right)$ e $ \left(\ref{ref3}\right)$, sono stati calcolati i seguenti parametri:

Successivamente sono stati calcolati i restanti parametri per diversi valori di frequenza, in modo da poter scegliere la frequenza di lavoro più adatta a questo tipo di applicazione.

Inizialmente si era pensato di utilizzare una frequenza di 2.4GHz tuttavia nel caso in cui il drone venga radiocomandato tramite Wi-Fi, la frequenza di lavoro risulterebbe in contrasto con la frequenza di comando, pertanto tale opzione è stata scartata.

Di seguito viene riportata una tabella contenente i valori dei principali parametri al variare della frequenza, riferiti al suolo sabbioso secco (calcolati per mezzo di $\left(\ref{ref4}\right)$, $\left(\ref{ref5}\right)$, $\left(\ref{ref6}\right)$, $\left(\ref{ref7}\right)$ e $\left(\ref{ref8}\right)$).

f = 1MHz f = 10MHz f = 100MHz f = 800 MHz f = 1 GHz f = 10 GHz
Velocità [m/s] $ \times 10^8$ 1.70 1.86 1.86 1.86 1.86 1.86
Attenuazione [dB/m] 0.12999 0.14199 0.14215 0.14216 0.14216 0.14216
Profondità di penetrazione [cm] 66.85 61.20 61.13 61.13 61.13 61.13
Risoluzione [m] 170.05 18.58 1.86 0.23 0.19 0.02

Come si può notare, il parametro che presenta maggior variazione al variare della frequenza è la risoluzione, pertanto la nostra scelta si è basata principalmente su di essa; abbiamo ritenuto quindi che una frequenza attorno agli 800 MHz, a cui corrisponde una risoluzione di circa 20 cm, poteva risultare adeguata al nostro modello teorico, in cui si suppone infatti che la mina sia posta ad una profondità di circa 30 cm.

Infine, la scelta del valore esatto è dipesa dai dispositivi disponibili sul mercato (dovendo realizzare il trasmettitore) ed è ricaduta su una frequenza di lavoro tra gli 868 – 930 MHz.

In tale range di frequenze, si ha:

Calcoli geometrici dell'antenna

$d$ distanza tra antenna e terreno, $\theta_m$ angolo per cui la potenza viene ridotta di 3 dB (50%), $r$ raggio della zona circolare interessata dall'onda sferica.

Si considera la porzione di terreno interessata dall’onda come perfettamente circolare; nella realtà così non è, trattandosi di un’onda sferica. Utilizzando tale approssimazione, essa è facilmente calcolabile come:

$$ \begin{equation} A_t=\pi r^2 \end{equation}$$

$$ \begin{equation} r=d \times \tan ( \theta_m ) \end{equation}$$

Si approssima la potenza costante $P_{cost}$ presente sull’intera superficie alla media tra la potenza al centro ($P$) e quella sul contorno ($0.5 \times P$), in cui $P$ corrisponde alla potenza che ha raggiunto il terreno. Dunque:

$$ \begin{equation} P_{cost}=0.75 \times P \end{equation}$$

Partendo dalla relazione che lega la densità di potenza dell’onda e il modulo del campo elettrico alla distanza  dall’antenna e aggiungendo il “fattore correttivo” introdotto precedentemente, si ottiene:

$$ \begin{equation} {P_{IN} \times G(\theta , \phi ) \over 4 \pi d^2 }\times 0.75= {|E_{1m} |^2 \over 2\eta_a } \end{equation}$$

Dove:

Da cui è possibile ricavare il modulo del campo elettrico, che si suppone incida perpendicolarmente il terreno:

$$ \begin{equation}|E_{1m} |=\sqrt{{P_{IN}\times G(\theta , \phi ) \over 4 \pi d^2 }\times 0.75 \times 2\times \eta_a } \end{equation}$$

Risulta necessario studiare trasmissione e riflessione secondo le leggi di Fresnel. Si ha:

$$ \begin{equation}n_1 \sin ( \theta_m ) = n_2 \sin ( \theta_t ) \end{equation}$$

Dove:

Da cui si ricava:

$$ \begin{equation}\theta_t =\arcsin\left({n_1 \over n_2} \times \sin(\theta_m)\right) \end{equation}$$

Di conseguenza bisogna considerare la riflessione sul corpo metallico:

Supponendo che la mina si trovi ad una profondità $d_{tm}$, si calcola la porzione interessata come:

$$ \begin{equation}\Delta r=2d_{tm} \sin(\theta_t) \end{equation}$$

Definiamo$A_5$ l'area del cerchio avente raggio $r+\Delta r$:

$$ \begin{equation}A_5=\pi (r+\Delta r)^2 \end{equation}$$

e $P_{5m}$ la potenza che giunge a tale porzione di terreno:

$$ \begin{equation}P_{5m}={|E_{5m} |^2 \over 2\eta_s }\times A_5 \end{equation}$$

In cui $|E_{5m} |$ è il modulo del campo elettrico che giunge all’interfaccia terra/aria, dopo che l’onda è stata riflessa dalla mina, e $\eta_s$ è l’impedenza intrinseca del suolo.

$|E_{5m} |$ è stato calcolato a partire da $|E_{1m} |$, tenendo conto di riflessione/trasmissione alle interfacce e attenuazione nel mezzo. Siano:

Si ha:

$$ \begin{equation}E_2=\rho_{AT} \times E_1 \end{equation}$$

$$ \begin{equation}E_3=\tau_{AT} \times E_1 \end{equation}$$

$$ \begin{equation}E_3^* = E_3e^{-\alpha_t d_{tm} }=\tau_{AT} \times E_1 e^{-\alpha_t d_{tm} } \end{equation}$$

dove $\alpha_t$ è il coefficiente di attenuazione del terreno

$$ \begin{equation}E_4=\rho_{TM} \times E_3^*= \rho_{TM} \times \tau_{AT} \times E_1e^{-\alpha_t d_{tm} } \end{equation}$$

dove $\rho_{TM}$ è il coefficiente di riflessione terra/mina

$$ \begin{equation}E_4^*= E_4e^{-\alpha_t d_{tm} }=\rho_{TM} \times \tau_{AT} \times E_1e^{-2\alpha_t d_{tm} } \end{equation}$$

$$ \begin{equation}E_5=\tau_{TA} \times E_4^*= \tau_{TA} \times\rho_{TM} \times \tau_{AT} \times E_1e^{-2\alpha_t d_{tm} } \end{equation}$$

Bisogna ora distinguere due casi:

  1. Se il raggio della mina $r_m \geqslant r$, la potenza trasmessa corrisponde a $P_{5m}$ quindi $P_{5TX}=P_{5m}$
  2. Se il raggio della mina $r_m \lt r$, la potenza va scalata con l'area della mina $A_m= \pi r_m^2$ quindi $P_{5TX}=P_{5m} \times {A_m \over A_5}$

Infine, conoscendo la potenza dell’onda all’interfaccia terra/aria, risulta possibile calcolare con quale potenza essa raggiunga l’antenna ricevente posta sul drone, secondo la formula:

$$ \begin{equation}P_{RX} = P_{5TX} \times G \times \left({\lambda \over 4 \pi d}\right)^2 =P_{5TX} \times G \times \left({c \over 4 \pi d f}\right)^2 \end{equation}$$

Dove:

Risultati

Supponendo di stimare le seguenti caratteristiche per l'antenna e per il modello:

Si ottengono i seguenti risultati:

$r$ $0.39496 m$
$A_t$ $0.49006 m^2$
$P$ $0.21665 W$
$P_{cost}$ $0.16249 mW$
$E_{1m}$ $0.49989 V/m$
$\theta_t$ $0.08104 rad$
$\Delta r$ $0.04857 m$
$A_5$ $0.618 m^2$
$E_{5m}$ $0.08704 V/m$
$P_{5m}$ $10,01616 \mu W$
$P_{5TX}$ $10,01616 \mu W$
$P_{RX}$ $4.20932 nW$
$P_{RX}^{dBm}$ $-53.758 dBm$

Considerazioni sul tipo di antenna da utilizzare

Per questo tipo di applicazione, è preferibile l’utilizzo di antenne direzionali; migliore è la direttività, maggiore sarà la potenza del segnale inviato, tuttavia, nel caso per esempio di un’antenna Yagi, l’aggiunta di direttori comporta un aumento del peso totale dell’antenna, con conseguente instabilità o minor controllabilità del drone. Sarà pertanto necessario trovare un buon compromesso fra peso e direttività.

Bibliografia